“Herhangi bir çemberin, çevresinin çapına oranı sabittir” cümlesindeki güç “Herhangi bir karenin, kenarıyla köşegeni rasyonel orantılı değildir” cümlesindeki güçten çok da ileri değildir. İkisi de bizlere yeni dünyaların kapılarını aralamıştır.”(PLATON)
Platon’un sözünü daha iyi anlayabilmek için herhangi bir karenin kenarıyla köşegeni arasında nasıl bir ilişki olduğuna bakalım. Bir kenarı 1 birim olan karenin köşegeni √2 birimdir. Tabi √2 diye bir sayının varlığından haberdar değilken, bunu açıklamak oldukça zordur, tanımsızdır çünkü o anda. Yunanlılar’ın gördüğü de bu tanımsızlıktan, belirsizlikten öte gitmemiştir diye tahmin edilebilir. Yunanlılar ispatlarına bu sayı elimizdeki gibi bir sayı olsun diye başlıyor ama sonuçta bir çelişki ile karşılaşıyorlardı. Ama uğraşarak sonuçta yeni bir sayı kümesi oluşturdular.
Şimdi bu akıldışı sayının öncekilere neden benzemediğinin ispatına bakalım. Ancak sürekli olarak gördüğümüz ve aşina olduğumuz cebirsel olarak değil de geometrik olarak bir ispat yapacağız. Öncelikle Pisagor, Hippasus’un bir dik üçgenin hipotenüsünün gibi rasyonel olmayan bir sayı olduğunun kanıtlamasına aşırı sinirlenmiş ve onu denizdeyken tekneden aşağı attığı söylenmiştir. Çünkü Pisagor evrenin temelinde sayıları görür ve rasyonel olmayan hiçbir şeyi kabul etmez.İrrasyonel bir sayının ispatı ile de yıkılır.Bu nedenle Geometride kullandığımız Pisagor Teoremiyle ispat yapacağız.(İspat Tübitak yayınlarından çıkan Arkadaşlığın Matematiği adlı kitaptan alınmış ve kitaptaki cümlelere birebir bağlı kalınmamıştır.)
m ve n pozitif tam sayılar olmak üzere
Bunun ne anlama geldiğini inceleyelim şimdi de.
Şekle bakarsak dik kenarlar n tane birim uzunluktan, hipotenüsün de m tane birim uzunluktan oluştuğunu görürüz. Birim uzunluğu t olarak varsayarsak BC ve AC kenarları t nin tam katı olmalıdırlar.
Şimdi ispata başlayabiliriz:
1- BC kenarını AC üzerine denk gelecek şekilde katladığımızı düşünelim. Bu durumda B köşesi D ye denk gelir. EBC üçgeni ile EDC üçgenleri de eş üçgenler olurlar.
2- Eş üçgenleri ve ikizkenar dik üçgenin 45lik açısını beraber düşünerek şu eşitlikleri yazabiliriz:
3- AC ve BC kenarları (birim uzunluğu t olarak ifade etmiştik) t’nin tam katlarıdır. O zaman farkları olan AD kenarı da t’nin bir tam katı olmalıdır. (|AD|=|AC|-|DC|=|AC|-|BC|)
4- ADE üçgeni de ikizkenar üçgendir. Bunun hipotenüsü için de aynı şeyler söylenebilir.
5- AE kenarı AB ve AD nin farkına eşittir. AB ve AD t’nin tam katları olduğundan farkları da t’nin tam katı olur. Buradan AE nin de t’nin tam katı olduğu sonucu ortaya çıkar. (|AE|=|AB|-|EB|=|AB|-|AD)
6- Kenarları ve hipotenüsü t’nin tam katı olan bir ikizkenar dik üçgenin içinde bir tane daha kenarları ve hipotenüsü t’nin tam katı olan bir ikizkenar dik üçgen elde ettik. Aynı şeyi sürekli devam ettirdiğimizde daha küçük ikizkenar dik üçgenler elde edilebilir.
7- Bunu devam ettirdiğimizde birim uzunluğumuz olan t’nin uzunluğundan daha küçük uzunluğu olan bir hipotenüs de elde edebiliriz. Yani bu durumda ;
8- t’nin hiç bir tam katı (0 hariç) t’den küçük olamaz. Oysaki biz sürekli hipotenüs uzunluğunun t’nin bir tam katı olduğunu söylüyorduk. Bu nedenle burada bir çelişki ortaya çıkar. Demek ki böyle bir t’den bahsedemeyiz. Dolayısıyla da hipotenüs ve kenarlar karşılaştırılamazlar yani rasyonel orantılı olamazlar.
KAYNAKÇA:
1-http://www.matematiksel.org/kok-2nin-irrasyonelligine-geometrik-bir-bakis/
2- https://prezi.com/aemkzci8juia/2-sayisinin-irrasyonel-oldugunun-ispati-ve-tarihcesi/
MERVE ÇAĞLAR
151210057 İMÖ-3
